Mathématiques

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Equations de point fixe endofonctoriel et équations de domaine dans CPO

Exposé de maîtrise, juin 1999

On cherche souvent en informatique théorique à travailler dans des espaces définis par des equations. Par exemple, pour le lambda-calcul non typé, on cherche un domaine X isomorphe à une certaine classe de fonctions de X dans X (un élément de X s'interprète comme une telle fonction et réciproquement). Cela donne l'équation X=[X→X], que l'on peut interpréter comme une équation de point fixe du foncteur qui associe au domaine X le domaine [X→X]. Il est donc naturel d'étudier les équations de point fixe de la théorie des catégories.

Voici le texte de l'exposé de maîtrise que j'ai préparé avec Augustin Chaintreau et sous la direction de Giuseppe Longo, en mai-juin 1999. L'idée de départ est d'adapter les résultats de point fixe de la théorie des ensembles préordonnés à la théorie des catégories qui en est une généralisation et dont on rappelle ici les définitions de bases. Ceci étant fait, on étudie une catégorie particulière (CPO = complete partial order : ordres avec un plus petit élément et tels que toute partie dirigée admette une borne sup) et l'on donne une construction générale et explicite de points fixes. Enfin, on applique cela à l'équation sus-mentionnée X=[X→X] et on étudie brièvement les propriétés de la solution construite.

• Rapport.

• Transparents.

• Analogie préordre/catégorie.

• Plan distribué.

Entropie topologique et définition du chaos

Rapport de TIPE, 1998

Dans le cadre des mes études en classes préparatoires (1996-1998), j'ai travaillé sur le thème des systèmes dynamiques et plus précisément sur la théorie de l'entropie topologique. Vous trouverez ici mon rapport pour le concours des ENS, ainsi que le texte de la fiche synoptique du « tétra-concours » et des transparents qui vont avec.

• Rapport ENS.

• Fiche synoptique.

• Transparent.

Petits textes

Voici quelques petits textes mathématiques rédigés par mes soins. Il n'y a rien de vraiment original : il s'agit essentiellement de présenter quelques beaux résultats élémentaires. Les connaissances nécessaires sont celles d'un étudiant de premier cycle (DEUG ou classe prépa).

• Le lemme de Zorn. Une preuve élémentaire. Novembre 1998.

• Théorème de convergence dominée. Une preuve de ce théorème pour l'intégrale des fonctions réglées. Avril 1999.

• Théorèmes de point fixe et de non-rétraction de Brouwer. Démonstration avec le lemme de Sperner et le lemme KKM. Janvier 2000.

• Développements en série entière classiques.